Арифметические и логические операции в языке Си. Системы счисления.

Михаил Медведев

[назад]

1. Арифметические и логические операции в языке Си.

1.1. Арифметические операции.

1.2. Логические операции.

1.3. Условный оператор и логические операции.

2. Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

3. Задачи.

https://www.topcoder.com/tc: SRM 195 (Rounder), SRM 325 (SalaryCalculator).

1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

1.1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Основными арифметическими операциями являются: сложение (‘+’), вычитание (‘-‘), умножение (‘*’) и деление (‘/’). Порядок выполнения операций в выражении соответствует их приоритету. Операции с одинаковым приоритетом в выражении выполняются слева направо.

Операция деления (‘/’) выполняется согласно типу ее операндов. Если оба операнда являются целыми числами, то деление будет целочисленным. Если один из операндов является вещественным, то и результат будет вещественным. Например, пусть переменная x имеет целочисленный тип, а y действительный тип. Следующая таблица демонстрирует результаты деления для различных операндов:

Рассмотрим второй пример. При выполнении операции присваивания значения выражения переменной, сначала вычисляется значение выражения, а потом оно присваивается переменной. Поскольку операнды во втором примере являются целыми, то результатом деления 7 / 3 будет 2. Потом целочисленное значение 2 преобразовывается в действительное значение 2.000000 и присваивается действительной переменной y.

В четвертом примере перед выполнением операции деления происходит преобразование типа делимого из целого в вещественный. Поэтому деление будет производиться без потери точности.

Пример 1.1.1. Найти среднее арифметическое двух целых чисел a и b.

Результатом вычисления выражения (a + b) / 2 может быть действительное число. Поэтому деление должно выполняться с сохранением точности. А для этого один из операндов необходимо преобразовать в действительный тип. Например, результат можно вычислить так: res = (a + b) / 2.0. Программа имеет вид:

#include <stdio.h>

int a,b;

double res;

void main(void)

{

  scanf("%d %d",&a,&b);

  res = (a + b) / 2.0;

  printf("%lf\n",res);

}

Операция вычисления остатка в Си обозначается символом ‘%’. При этом остаток при делении отрицательного числа на положительное является отрицательным (хотя математически остаток при делении на число n должен лежать в промежутке от 0 до  n – 1 включительно).

В языке Си при выполнении операций возможны синтаксические сокращения. Например, вместо i = i + 1 можно писать i++. Если <op> – некоторая бинарная операция, то вместо i = i <op>a можно писать i <op>= a.  Примеры сокращений приведены ниже в таблице:

Упражнение 1.1.1. Имеются одинаковые коробки, каждая из которых вмещает m шаров. Сколько коробок требуется для упаковки n шаров?

Упражнение 1.1.2. Рассмотрим условие предыдущей задачи. Сколько коробок будут полностью заполнены, если всего имеется n шаров, а каждая коробка вмещает m шаров?

Упражнение 1.1.3. Пусть n – трехзначное число. Присвоить переменным a, b, c соответственно количество сотен, десятков и единиц числа n.

1.2. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Среди логических операций следует выделить операции ‘и’ (‘and’), ‘или’ (‘or‘), отрицание ‘не’ (‘not’) и сложение по модулю 2 (‘xor’). В языке Си логические операции обозначаются следующим образом:

Таблицы истинности логических операций приведены в следующих таблицах:

Следует отметить также логическую операцию сравнения, обозначаемую в Си двумя знаками равенства. При этом выражение (x == y) эквивалентно  !(x xor y). Операция называется операцией “сложение по модулю 2”, потому что x xor y = (x + y) mod 2. Логические операции подчиняются правилу Де-Моргана:

not (x and y) = (not x) or (not y)

или то же самое

!(x && y) = !x || !y

Упражнение 1.2.1. Составить таблицу истинности следющих функций:

1. Равенства: x = y;

2. Импликации: x É y = (not x) or y

1.3. УСЛОВНЫЙ ОПЕРАТОР И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Используя логические операции, можно строить условные выражения. Например, реализуем на языке Си следующие задачи, в которых требуется написать выражения для условного оператора.

Пример 1.3.1. Проверить, лежит ли значение переменной x в интервале (1; 5):

if ((x > 1) && (x < 5)) ...

Пример 1.3.2. Проверить, лежит ли значение переменной x вне интервала (1; 5):

if ((x <= 1) || (x >= 5)) ...

В языке Си нет булевого типа. Если значение переменной равно 0, то ее значение считается равным ‘ложь’ (иначе ‘истина’). Так, например, вместо выражения

if (x == 0) ...

можно писать

if (!x) ...

Выражение !x будет истинным, когда x будет ложным. А это возможно лишь в случае, когда x равно нулю.

Пример 1.3.3. Записать условие того, что обе переменные x и y имеют значение 0:

if ((x == 0) && (y == 0)) ...

или то же самое

if (!x && !y) ...

Упражнение 1.3.1. Записать условие того, что переменная х принимает одно из значений множества S = {1, 3, 6}.

Истинное выражение считается равным 1, ложное выражение считается равным нулю.

Пример 1.3.4. Присвоим целочисленным переменным значения логических выражений и выведем их.

#include <stdio.h>

int i;

void main(void)

{

  i = (3 > 4);

  printf("%d\n",i);            // 0

  i = (3 < 4);

  printf("%d\n",i);            // 1

}

Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, p(x) – предикат. Расмотрим функцию:

Функцию y(x) можно реализовать без использования структуры if … else … .  Учитывая значения логических выражений, можно записать:

y(x) = f(x) * p(x) + g(x) * (1 – p(x))

Записи 1 – p(x) и !p(x) эквивалентны.

Пример 1.3.5. Вычислить значение функции:

y(x) =

#include <stdio.h>

double x,y;

void main(void)

{

  scanf("%lf",&x);

  y = (x + 1)*(x >= 0) + (x * x)*(x < 0);

  printf("%lf\n",y);

}

Пример 1.3.6. Вычислить значение функции знака числа:

sgn(x) =

Запишем функцию в виде:

sgn(x) = 1 * (x > 0) + 0 * (x = 0) + (-1) * (x < 0) = (x > 0) – (x < 0)

#include <stdio.h>

int x,y;

void main(void)

{

  scanf("%d",&x);

  y = (x > 0) - (x < 0);

  printf("%d\n",y);

}

2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В повседневной жизни мы пользуемся десятичной системой счисления, которая имеет 10 цифр: 0, 1, …, 8, 9. Каждое натуральное число n =  можно представить в виде

n = a_n * 10ⁿ + a_n-1 * 10^n-1 + … + a₁ * 10 + a₀

Например, 123 = 1 * 10² + 2 * 10¹ + 3 * 10⁰.

В двоичной системе счисления пользуются лишь двумя цифрами: 0 и 1. В восьмеричной – цифрами от 0 до 7, а в шестнадцатеричной – цифрами от 0 до 9 и буквами от ‘A’ до ‘F’, которые соответствуют числам от 10 до 15. В следующей таблице показаны записи чисел от 1 до 16 в разных системах счисления:

Если b – основание системы счисления, то числу n, имеющему в ней запись , в десятичной системе соответствует число

n = a_n * bⁿ + a_n-1 * b^n-1 + … + a₁ * b + a₀

Примеры перевода чисел из разных систем счисления в десятичную:

1. 1111 из двоичной: 1111₂ = 1 * 2³ + 1 * 2² + 1 * 2¹ + 1 = 15₁₀

2. 16 из восьмеричной: 16₈ = 1 * 8¹ + 6 = 14₁₀

3. FF из шестнадцатеричной: FF₁₆ = 15 * 16¹ + 15 = 255₁₀

Для перевода из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную, …) пользуются делением в столбик. При делении числа n на 2 под числом n записываем остаток от деления n на 2, под двойкой – частное. Процесс деления оканчиваем, когда частное станет равным 1. Далее следует записать последнее частное (единицу) и все остатки от деления в обратном порядке. Например, найдем двоичное представление числа 20:

Записав остатки в обратном порядке, получим: 20₁₀ = 10100₂.

Найдем шестнадцатеричное представление числа 511:

Из таблицы получим: 511₁₀ = 1FF₁₆.

При умножении на 10 в десятичной системе счисления к числу приписывается справа 0. Например, 71 * 10 = 710. Аналогично при умножении на b числа n в b - значной системе счисления к числу n приписывается справа 0. Например:

5 * 2 = 10, в двоичной системе счисления: 101₂ * 2₁₀ = 1010₂;

255 * 16² = 65280, в шестнадцатеричной системе счисления: FF₁₆ * 16₁₀ * 16₁₀ = FF00₁₆;

Упражнение 2.1. Найти двоичное, восьмеричное и шестнадцатеричное представление десятичного числа 31.

Упражнение 2.2. Найти двоичное представление следующих чисел:

а) 2² + 2⁴           б) 2⁶ – 1          в) 3 * 8²

3. ЗАДАЧИ

При сдаче задач на Топкодере следует писать функцию – метод класса. Например, рассмотрим две достаточно простые задачи с объяснениями и реализацией.

Матч 195, Округление (Rounder)

Дивизион 2, Уровень 1

Для заданного числа n найти ближайшее целое, которое делится на b. Если таких чисел несколько, то найти наибольшее.

Класс: Rounder

Метод: int round(int n, int b)

Ограничения: 1 £ n £ 10⁶, 2 £ b £ 500.

Вход. Два числа n и b.

Выход. Ближайшее целое к n, которое делится на b. Если n находится строго посредине двух чисел, делящихся на b, то вернуть наибольшее.

Пример входа

Пример выхода

10

0

99

49

РЕШЕНИЕ

Ближайшим к n целым, делящимся на b, будет число  . Если n находится строго посредине двух чисел, делящихся на b, это значение будет наибольшим среди них. В языке Си выражение примет вид: (n + b / 2) / b * b.

Класс Rounder и метод round имеют следующий вид:

#include <stdio.h>

class Rounder{

public:

  int round(int n, int b)

  {

    return ((n + (b / 2)) / b) * b;

  }

};

Заметим, что после объявления класса следует ставить точку с запятой. Методом называется функция, объявленная в классе. Функцию следует объявить публичной (public) для того чтобы ее можно было вызывать извне. Именно в таком виде следует сдавать задачу на Топкодере.

Для тестирования метода следует написать функцию main. Она должна содержать создание экземпляра класса, вызов метода с конкретными входными данными и вывод результата. Для задачи Rounder функция main имеет вид:

void main(void)

{

  Rounder s;

  int res = s.round(123456,7);

  printf("%d\n",res);

}

Матч 325, Калькулятор зарплаты (SalaryCalculator)

Дивизион 2, Уровень 1

Работая в компании, за первые 200 часов работник получает зарплату в размере p1 долларов в час каждый месяц. За остальные часы до конца месяца ставка работника составляет p2 долларов в час. Вычислить, какое наименьшее количество часов должен работать работник в месяц, чтобы получить суммарную зарплату в salary долларов.

Класс: SalaryCalculator

Метод: double calcHours(int p1, int p2, int salary)

Ограничения: 1 £ p1, p2 £ 100, 1 £ salary £ 10⁶.

Вход. Ежемесячная зарплата работника в час за первые 200 часов и за последующие часы.

Выход. Наименьшее количество часов должен работать работник в месяц, чтобы получить суммарную зарплату в salary долларов.

Пример входа

Пример выхода

100.0

266.6666666666667

148.0487804878049

РЕШЕНИЕ

За 200 часов работник получит t = p1 * 200 долларов. Если эта сумма больше salary, то достаточно работать salary / p1 часов. Иначе следует отработать 200 часов с зарплатой p1 долларов в час, а остальное время с зарплатой p2 долларов в час. При этом количество часов, когда зарплата будет составлять p2 долларов в час, равна (salary – t) / p2.

#include <stdio.h>

class SalaryCalculator{

public:

  double calcHours(int p1, int p2, int salary)

  {

    int t = p1 * 200;

    if (t >= salary) return 1.0*salary / p1;

    return 200 + 1.0*(salary - t) / p2;

  }

};

Для тестирования функции calcHours следует написать функцию main. Напомним, что при сдаче задачи на Топкодере функцию main приводить не следует (следует сдавать только код класса).

void main(void)

{

  SalaryCalculator s;

  double res = s.calcHours(82,8,12140);

  printf("%lf\n",res);

}

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ УПРАЖНЕНИЙ

Упражнение 1.1.1. Ответом будет значение выражения , которое на языке Си можно записать в виде (m + n – 1) / n.

Упражнение 1.1.2. Ответом будет значение выражения , которое на языке Си можно записать в виде m / n.

Упражнение 1.1.3. Следует выполнить следующие операции:

a = n / 100; b = n / 10 % 10; c = n % 10;

Упражнение 1.2.1. Таблицы истинности равенства и импликации имеют вид:

Упражнение 1.3.1. Выражение имеет вид:

if ((x == 1) || (x == 3) || (x == 6)) . . .

Упражнение 2.1. 31₁₀ = 11111₂, 31₁₀ = 37₈, 31₁₀ = 1F₁₆.

Упражнение 2.2.Ответами будут следующие значения:

а) 2² + 2⁴ = 10100₂       б) 2⁶ – 1 = 111111₂    в) 3 * 8² = 11000000₂

[назад]