Задача "Треугольник"

[назад]

Заданы длины трех отрезков a, b, c. Необходимо определить, можно ли из них составить треугольник. В случае утвердительного ответа определить его тип: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.

Вход. Три целых числа a, b, c – длины трех отрезков.

Выход. Строка, содержащая информацию о треугольнике: “ACUTE”, если он остроугольный, “RIGHT” если прямоугольный и  “OBTUSE” если тупоугольный. Если из трех отрезков составить треугольник нельзя, то вывести “NONE”.

Пример входа

3 4 5

Пример выхода

RIGHT

Решение. Геометрия.

Анализ алгоритма

Из трех отрезков a, b, c можно составить треугольник, если выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника строго больше длины третьей.

Из теоремы Пифагора следует, что треугольник со сторонами a, b, c является прямоугольным, если выполняется одно из следующих равенств:

a² = b² + c² или b² = a² + c² или c² = a² + b²

Треугольник будет остроугольным, если квадрат каждой стороны строго меньше суммы квадратов двух других сторон. То есть одновременно выполняется три неравенства:

a² < b² + c², b² < a² + c², c² < a² + b²

Треугольник является тупоугольным, если существует такая сторона, квадрат которой строго больше суммы квадратов двух других сторон. То есть выполняется одно из трех неравенств:

a² > b² + c² или b² > a² + c² или c² > a² + b²

Условие тупоугольности можно не проверять: если треугольник не является ни остроугольным, ни прямоугольным, то он является тупоугольным. Для вывода результата воспользуемся типом string.

program triangle;

var

  a,b,c:integer;

  res:string;

begin

  readln(a,b,c);

  if ((a >= b + c) or (b >= a + c) or (c >= a + b))

      then res := 'NONE' else

  if ((a*a = b*b + c*c) or (b*b = a*a + c*c) or (c*c = a*a + b*b)) 

      then res := 'RIGHT' else

  if ((a*a < b*b + c*c) and (b*b < a*a + c*c) and (c*c < a*a + b*b))

      then res := 'ACUTE' else

  res := 'OBTUSE';

  writeln(res);

end.

Задача решена, но имеет один недостаток. При проверке типа треугольника приходится каждый раз проверять три условия: в каждом из условных операторов if стоит три выражения. Можно сделать так, что в каждом условном операторе будет стоять лишь одно условие. Подумайте, как это сделать?

Ответ на вопрос дает сортировка. Отсортируем по возрастанию длины исходных отрезков. Пусть у нас далее имеют место неравенства: a £ b £ c. Тогда для проверки неравенства треугольника достаточно проверить лишь a + b > c, так как оба других неравенства b + c > a и a + c > b выполняются. Для проверки прямоугольности достаточно проверить только равенство c² = a² + b², так как при a £ b £ c гипотенузой может быть только сторона c. В случае тупоугольности наибольшей стороной может быть только c, поэтому для существования тупого угла в треугольнике достаточно выполнение условия c² > a² + b². Треугольник будет остроугольным, если c² < a² + b².

Например, в языке Си, отсортировать три числа можно так:

    int mas[3] = {a,b,c};

    sort(mas,mas+3);

Язык Паскаль вообще не имеет функций сортировки. Здесь, уже на элементарной задаче, мы столкнулись с бедностью языка Паскаль. Реализовать сортировку непосредственно операциями сравнения в этой задаче можно, так как число переменных не велико. Если бы их было больше – требовалось бы заводить массив и уже писать один из классических алгоритмов сортировки.

Если мы сможем эффективно отсортировать числа a, b, c, то программа примет вид:

program triangle;

var

  a,b,c:integer;

  res:string;

begin

  readln(a,b,c);

  { отсортировать a,b,c. Имеем: a <= b <= c }

  if c >= a + b then res := 'NONE' else

  if c*c = a*a + b*b then res := 'RIGHT' else

  if c*c < a*a + b*b then res := 'ACUTE' else

  res := 'OBTUSE';

  writeln(res);

end.

 [назад]